Kurzfassung
Von Hochtemperatur-supraleitenden Kupraten bis zu neuartigen Materialen wie das verdrehte Zweilagen-Graphen gibt es eine große Notwendigkeit, zweidimensionale, wechselwirkende Systeme akkurat zu modellieren. Der Grundstein zum Verständnis wechselwirkender Elektronen auf einem periodischen Gitter ist das Hubbard-Modell, welches trotz seiner simplen Idee für viele, wichtige Fälle weiterhin ungelöst ist. Die drei Projekte, die in dieser Arbeit präsentiert werden, haben das Ziel, numerische Simulationsmöglichkeiten zu erweitern und zum Verständnis von ansonsten unzugänglichen Parameterbereichen beizutragen. In den ersten zwei Projekten wurde ein Variationsansatz entwickelt, um erweiterte Hubbard-Modelle mit sowohl nichtlokaler, abstoßender sowie der Austausch-Wechselwirkung durch Systeme mit effektiver, ausschließlich lokaler Interaktion zu beschreiben. Als Letztes wird die Implementierung einer Dual-Fermion Störungstheorie vorgestellt, welche die Zielsetzung hat, das berühmte Vorzeichenproblem in Quanten-Monte-Carlo Methoden zu umgehen. Alle Ansätze werden hier für das periodische Quadratgitter angewendet, aber lassen sich mit weiteren Entwicklungen zukünftig auch auf wesentlich komplexere Probleme übertragen.
From the high-temperature superconducting cuprates to novel materials such as twisted bilayer graphene, adequate modelling of two-dimensional, interacting systems is of tremendous interest. At the center of interacting electrons on a lattice stands the Hubbard model which, despite its simplicity, remains unsolved for many important cases. The three works and ideas presented in this thesis share the goal of improving computational possibilities and broaden the understanding of otherwise inaccessible parameter regimes. To that end, within the first two projects, a variational scheme has been developed which describes extended Hubbard models with both nonlocal repulsive and exchange interactions through an effective, purely local Hubbard system. Lastly, an implementation of a strong-coupling perturbation theory is presented, which has the aim of circumventing the famous, fermionic Monte Carlo sign problem. While we treat the important square lattice in all cases, the hope is that with further developments, these novel approaches may be applied to much more complex problems.